Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0， ），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点B是点A关于y轴的对称点，

∴抛物线的对称轴为y轴，

∴抛物线的顶点为（0， ），

故抛物线的解析式可设为y=ax2+ ．

∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+ 上，

∴a+ =2，

解得a=﹣ ，

∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣ x2+

（2）

解：①当点F在第一象限时，如图1，

令y=0得，﹣ x2+ =0，

解得：x1=3，x2=﹣3，

∴点C的坐标为（3，0）．

设直线AC的解析式为y=mx+n，

则有 ，

解得 ，

∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．

设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．

∵点F（p，p）在直线y=﹣ x+ 上，

∴﹣ p+ =p，

解得p=1，

∴点F的坐标为（1，1）．

②当点F在第二象限时，

同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），

此时点F不在线段AC上，故舍去．

综上所述：点F的坐标为（1，1）

（3）

解：过点M作MH⊥DN于H，如图2，

则OD=t，OE=t+1．

∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．

当x=t时，y=﹣ t+ ，则N（t，﹣ t+ ），DN=﹣ t+ ．

当x=t+1时，y=﹣ （t+1）+ =﹣ t+1，则M（t+1，﹣ t+1），ME=﹣ t+1．

在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣ t+1）2= t2﹣t+2．

在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣ t+ ）﹣（﹣ t+1）= ，

∴MN2=12+（ ）2= ．

①当DN=DM时，

（﹣ t+ ）2= t2﹣t+2，

解得t= ；

②当ND=NM时，

﹣ t+ = = ，

解得t=3﹣ ；

③当MN=MD时，

= t2﹣t+2，

解得t1=1，t2=3．

∵0≤t≤2，∴t=1．

综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为 ，3﹣ 或1．

【解析】（1）易得抛物线的顶点为（0， ），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2 ， 分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、直线及抛物线上点的坐标特征、抛物线的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）、（3）小题的关键，在解决问题的过程中要验证是否符合题意．
【考点精析】认真审题，首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法)，还要掌握抛物线与坐标轴的交点(一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．)的相关知识才是答题的关键．