Question

13．如图，已知直线y=$\frac{1}{3}x$与双曲线y=$\frac{k}{x}（k＞0）$交于A，B两点，且点A的横坐标为6，过原点O的另一条直线l交双曲线y=$\frac{k}{x}（k＞0）$于P，Q两点（P在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为20，则点P的坐标为（4，3）或（9，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 先利用正比例函数解析式计算出A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数，可得反比例函数解析式，根据双曲线是关于原点的中心对称图形，因此△POA的面积就应该是平行四边形面积的四分之一，根据双曲线的解析式设P点的坐标，最后根据梯形PEFA面积为5，列出方程求解，即可求出P点的坐标．

解答 解：∵点A在直线y=$\frac{1}{3}x$上，且点A的横坐标为6，
∴当x=6时，y=2，
∴A（6，2），
将点A（6，2）代入双曲线y=$\frac{k}{x}（k＞0）$，
得k=6×2=12，
故双曲线的解析式为y=$\frac{12}{x}$，
设点P的横坐标为n（n＞0且n≠6），
得P（n，$\frac{12}{n}$），
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S_△POE=S_△AOF=6，
∴S_梯形PEFA=S_△POA
又∵反比例函数图象是中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S_△POA=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形APBQ}=$\frac{1}{4}$×20=5，
∴S_梯形PEFA=5，
①若0＜n＜6，如图，
由S_梯形PEFA=5可得，$\frac{1}{2}$（2+$\frac{12}{n}$）•（6-n）=5，
∴n=4，n=-9（舍去），
∴P（4，3）；
②若m＞6，如图，
由S_梯形PEFA=5可得，$\frac{1}{2}$（2+$\frac{12}{n}$）•（n-6）=5，
解得n=9，n=-5（舍去），
∴P（9，$\frac{4}{3}$），
∴点P的坐标是：（4，3）或（9，$\frac{4}{3}$）．
故答案为：（4，3）或（9，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题主要考查了反比例解析式的确定和性质、函数图象交点问题，考核了学生综合应用知识解决问题的能力．解题的关键是将不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差关系来求解．