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    猜想、探究题：
    （1）观察与发现
    小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？

    （2）实践与运用
    将矩形纸片ABCD（AB＜CD）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．
    猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的大小．
    【答案】分析：（1）第一次折叠，AC落在AB边上，则折痕AD平分∠BAC，∠EAD=∠FAD；第二次折叠，A、D重合，则∠EAF=∠EDF、∠EDA=∠FDA；AE=ED、AF=FD；易证得△AED≌△AFD，得AE=AF、DE=DF，再根据第二次折叠所得到的AE=DE、AF=FD，可证得四边形AEDF的四边相等，利用等腰三角形的判定方法即可得到△AEF为等腰三角形．
    （2）根据折叠的性质得到四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°；∠BEG=∠DEG=67.5°，而AD∥BC，得∠BGE=∠DEG，则△AEF为等腰三角形，得到∠FEG=67.5°-45°=22.5°．
    解答：解：（1）证明：连DE、DF，如图，
    由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠1=∠2，
    由第二次折叠可知：∠CAB=∠EDF，∠1=∠3，∠2=∠4，
    ∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，
    在△AED与△AFD中，
    ，
    ∴△AED≌△AFD（ASA），
    ∴AE=AF，
    ∴△AEF是等腰三角形；
    （2）△EBG的形状是等腰三角形．理由如下：
    由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，
    ∴∠BED=135°．
    又由折叠知，∠BEG=∠DEG=∠BED=67.5°，
    又∵AD∥BC，
    ∴∠BGE=∠BEG，
    ∴BG=BE，
    即△EBG为等腰三角形．
    又∵∠BEF=45°，
    ∴∠FEG=67.5°-45°=22.5°．
    点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形相似的判定与性质．
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    （1）观察下列各式：
    		1
    1
    3
    =2
    1
    3
    ；
    		2
    1
    4
    =3
    1
    4
    ；
    		3
    1
    5
    =4
    1
    5
    ．
    ①猜想
    		4
    1
    6
    的变形结果并验证；
    ②针对上述各式反映的规律，给出用n（n为任意自然数，且n≥1）表示的等式，并进行证明．
    （2）把阅读下面的解题过程：
    已知实数a、b满足a+b=8，ab=15，且a＞b，试求a-b的值．
    解：∵a+b=8，ab=15
    ∴（a+b）2=a2+2ab+b2=64
    ∴a2+b2=34
    ∴（a-b）2=a2-2ab+b2=34-30=4
    ∴a-b=
    		4
    =2．
    请你仿照上面的解题过程，解答下面的问题：已知实数x满足x+
    1
    x
    =
    		8
    ，且x＞
    1
    x
    ，试求x-
    1
    x
    的值．

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    47、探究题．
    （1）计算下列各题：
    ①（x-1）（x+1）；
    ②（x-1）（x2+x+1）；
    ③（x-1）（x3+x2+x+1）；
    ④（x-1）（x4+x3+x2+x+1）；
    …
    （2）猜想：（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）的结果是什么？
    （3）证明你的猜想是否正确．

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    猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的大小．精英家教网

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