如图,抛物线的顶点为Q,与
轴交于A(-1,0)、B(5, 0)两点,与
轴交于C点.
(1)直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;
(2)在该抛物线的对称轴上求一点,使得△
的周长最小.请在图中画出点
的位置,并求点
的坐标.
见解析
【解析】
试题分析:(1) 抛物线与
轴交于A(-1,0)、B(5, 0)两点,根据一元二次方程与二次函数的关系可得
是
的两根,根据根与系数的关系得b=4,c=5所以
,配方得出
写出顶点Q的坐标Q(2,9).
(2)如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.因为AC长为定值,所以,要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小. 而点A关于对称轴=1的对称点是点B(5,0),抛物线
与y轴交点C的坐标为(0,5).
∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小. 不妨设直线BC的解析式为y=k+5,
将B(5,0)代入5k+5=0,得k=-1,=-
+5,与对称轴的交点就是P,所以
=2时,y=3 ,即点P的坐标为(2,3).
试题解析:(1) ,
∴Q(2 ,9).
(2)如解析图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.
∵AC长为定值,∴要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小.
∵点A关于对称轴=1的对称点是点B(5,0),抛物线
与y轴交点C的坐标为(0,5).
∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小.
设直线BC的解析式为y=k+5,
将B(5,0)代入5k+5=0,得k=-1,
∴=-
+5,
∴当=2时,y=3 ,∴点P的坐标为(2,3).
考点:1.抛物线顶点坐标.2. 抛物线的解析式.3. 物线的对称轴上求一点,使三角形的周长最小
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