Question

【题目】如图1，我们将相同的两块含30°角的直角三角板Rt△DEF与Rt△ABC叠合，使DE在AB上，DE过点C，已知AC＝DE＝6．

（1）将图1中的△DEF绕点D逆时针旋转（DF与AB不重合），使边DF、DE分别交AC、BC于点P、Q，如图2．

①求证：△CQD∽△APD；②连接PQ，设AP＝x，求面积S△PCQ关于x的函数关系式；

（2）将图1中的△DEF向左平移（点A、D不重合），使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N设AM＝t，如图3．

①判断△BEN是什么三角形？并用含t的代数式表示边BE和BN；②连接MN，求面积S△MCN关于t的函数关系式；

（3）在旋转△DEF的过程中，试探求AC上是否存在点P，使得S△PCQ等于平移所得S△MCN的最大值？说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②；（2）①△BEN是等腰三角形，BE＝6﹣t，BN＝（6﹣t），②；（3）存在，见解析．

【解析】

（1）①易得∠BCD＝∠A＝60°，∠ADP＝∠CDE，那么可得△CQD∽△APD②利用相似可得CQ＝x，那么PC＝6﹣x．可表示出S△PCQ

（2）①由外角∠FEN＝60°，∠B＝30°，可得∠BNE＝30°，∴NE＝BN，那么△BEN是等腰三角形．易得AD＝t，AB＝12，那么BE＝12﹣AD﹣DE＝6﹣t．过E作EG⊥BN于点G．利用30°的三角函数可求得BG，进而求得BN

②容易利用t表示出MC、CN，即可表示出所求面积

（3）利用二次函数的最值表示出S△MCN的最大值，让前面所求的面积的代数式等于即可．

（1）①证明：∵∠F＝∠B＝30°，∠ACB＝∠BDF＝90°∴∠BCD＝∠A＝60°，∵∠ADP+∠PDC＝90°，∠CDE+∠PDC＝90°∴△CQD∽△APD

②∵在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝3

又∵△CQD∽△APD，CQ＝x．

∴

（2）①△BEN是等腰三角形．BE＝6﹣t，BN＝（6﹣t）．

②S△MCN＝（6﹣t）×

（3）存在．

由题意建立方程，

解得x＝或

即当AP＝或AP＝时，S△PCQ等于S△MCN的最大值．