Question

如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD₁E₁叠放在一起．
（1）操作：固定△ABC，将△CD₁E₁绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；
（2）操作：固定△ABC，若将△CD₁E₁绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的△CDE设为△PQR，如图3．
探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；
（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长．    

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）求出∠ACF=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CHQ=30°，从而得到∠ACF=∠CHQ，判断出△CHQ是等腰三角形；
（3）求出∠CGP=90°，然后利用∠ACF的余弦表示出CG，再根据等腰三角形的性质表示出CH，然后根据GH=CG-CH整理即可得解．

解答：解：（1）BE=CD．
理由如下：∵△ABC与△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°．
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，
即∠BCE=∠ACD．
在△ACD和△BCE中，

AB=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=CD；

（2）∵旋转角为30°，
∴∠BCF=30°，
∴∠ACF=60°-30°=30°，
∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°，
∴∠ACF=∠CHQ，
∴△CHQ是等腰三角形；

（3）∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°，
∴CG=CP•cos30°=

3

2

（x+4），
∵△CHQ是等腰三角形，
∴CH=2•CQcos30°=2x•

3

2

=

3

x，
∴GH=CG-CH=

3

2

（x+4）-

3

x=2

3

-

3

2

x．

点评：本题是几何变换综合题型，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及解直角三角形，综合题，但难度不大，熟记各性质与判定方法是解题的关键．