Question

【题目】正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（　　）

A. 2 B. 1 C. 4 D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

分析: 由题意知：PQ⊥AP，即：∠APB+∠QPC=90°，∠BAP+∠APB=180°-∠B=90°，所以∠QPC=∠BAP，又∠B=∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性质可得：=，CQ=×BP，又BP=x，PC=BC-BP=4-x，AB=4，将其代入该式求出CQ的值即可，利用“配方法”求该函数的最大值．易知点O的运动轨迹是O′→O→O′，CQ最大时，OO′=CQ=.

详解: 如图，连接AC，设AC的中点为O′，AQ的中点为O．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°

∵PQ⊥AP，

∴∠APB+∠QPC=90°

∠APB+∠BAP=90°

∴∠BAP=∠QPC

∴△ABP∽△PCQ

∴=，即，

∴y=-x2+x=-（x-2）2+1（0＜x＜4）；

∴当x=2时，y有最大值1cm．

易知点O的运动轨迹是O′→O→O′，CQ最大时，OO′=CQ=，

∴点O的运动轨迹的路径的长为2OO′=1，

故答案为1.

点睛: 本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、三角形的中位线定理等知识，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，学会探究点O的运动轨迹.