Question

【题目】如图，△ABC为等腰直角三角形，点D是边BC上一动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，分别过A、E点向BC边作垂线，垂足分别为F、G．连接BE．

（1）证明：BG=FD；

（2）求∠ABE的度数．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 90°.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据余角的性质得到∠FAD=∠GDE，根据全等三角形的性质得到DG=AF，根据等腰直角三角形的性质得到AF=BF，于是得到结论；

（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=45°，根据全等三角形的性质得到DF=EG，推出△BGE是等腰直角三角形，于是得到结论．

（1）∵△ADE为等腰直角三角形，

∴AD=DE，∠ADE=90°，

∵AF⊥BC，EG⊥BC，

∴∠AFD=∠DGE=90°，

∴∠DAF+∠ADF=∠ADF+∠EDG=90°，

∴∠FAD=∠GDE，

在△ADF与△DEG中，，

∴△ADF≌△DEG，

∴DG=AF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∴BF=DG，

∴BG=DF；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∵△ADF≌△DEG，

∴DF=EG，

∴BG=EG，

∵BG⊥EG，

∴△BGE是等腰直角三角形，

∴∠GBE=45°，

∴∠ABE=90°．