Question

10．当k是什么整数时，方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0只有正整数根？

Answer 1

分析 分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑．①当k²-1=0时，代入k=±1求出x的值，由此即可确定k的值；②当k²-1≠0，即k≠±1时，由根的判别式以及求根公式找出x的值，再根据x为正整数找出k的值．综合①②即可得出结论．

解答 解：①当k²-1=0，即k=±1时，原方程为一元一次方程，
k=1时，有-12x+72=0，解得：x=6；
k=-1时，有24x+72=0，x为负数，此种情况不合适；
②当k²-1≠0，即k≠±1时，原方程为一元二次方程，
△=[-6（3k-1）]²-4×（k²-1）×72=36（k-3）²≥0，
当k=3时，△=0，此时方程的解为x=$\frac{6（3k-1）}{2（{k}^{2}-1）}$=3；
当k≠3时，△＞0，
由求根公式可得：x₁=$\frac{6}{k-1}$，x₂=$\frac{12}{k+1}$，
∵x₁、x₂均为正整数，
∴k-1=1、2、3、6，k+1=1、2、3、4、6、12，
解得：k=2或k=3（舍去），
此时x₁=6，x₂=4．
综上可知：当k=1或2时，方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0只有正整数根．

点评 本题考查了根的判别式以及求根公式，解题的关键是分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，充分考虑二次项系数是否为0是关键．