Question

已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+

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m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根；
（2）当矩形的对角线长为

5

时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据△的意义得到△≥0，即（m+1）²-4（

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4

m²+1）≥0，解得m≥

3

2

，而a、b都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有a+b=m+1＞0，ab=

1

4

m²+1＞0，可解得m＞-1，综合可得到m的取值范围；
（2）根据矩形的性质和勾股定理得到a²+b²=（

5

）²，变形有（a+b）²-2ab=5，把a+b=m+1，ab=

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4

m²+1代入得（m+1）²-2（

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4

m²+1）=5，整理得到m²+4m-12=0，解方程得到m₁=2，m₂=-6，然后即可得到符合条件的m的值．

解答：解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，
∵关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+

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4

m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，
∴△≥0，即（m+1）²-4（

1

4

m²+1）≥0，解得m≥

3

2

，
a+b=m+1＞0，ab=

1

4

m²+1＞0，解得m＞-1，
∴m≥

3

2

时，方程有两个正实数根；
（2）∵矩形的对角线长为

5

，
∴a²+b²=（

5

）²，
∴（a+b）²-2ab=5，
∴（m+1）²-2（

1

4

m²+1）=5，
即m²+4m-12=0，
解得m₁=2，m₂=-6，
∵m≥

3

2

，
∴m=2，
所以当矩形的对角线长为

5

时，m的值为2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＞0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理以及矩形的性质．