【题目】如图,平面直角坐标系中,直线AB: 交y轴于点A,交x轴于点B,过点E(2,0)作x轴的垂线EF交AB于点D,点P是垂线EF上一点,且S△ADP=2,以PB为边在第一象限作等腰Rt△BPC,则点C的坐标为_________.
【答案】(6,4)、(6,8)、(10,4)
【解析】当y=0时, =0,解得:x=6,所以B(6,0),
x=2时, =2,所以D(2,2),
当S△ABP=2时, ×2·PD=2 ,解得PD=2,
∴点P(2,4),
∴PE=BE=4,
∴∠EPB=∠EBP=45°;
第1种情况,如图1,∠CPB=90°,BP=PC,
过点C作CN⊥直线x=2于点N,
∵∠CPB=90°,∠EPB=45°,
∴∠NPC=∠EPB=45°.
又∵∠CNP=∠PEB=90°,BP=PC,
∴△CNP≌△BEP,
∴PN=NC=EB=PE=4,
∴NE=NP+PE=4+4=8,
∴C(6,8);
第2种情况,如图2∠PBC=90°,BP=BC,
过点C作CF⊥x轴于点F.
∵∠PBC=90°,∠EBP=45°,
∴∠CBF=∠PBE=45°.
又∵∠CFB=∠PEB=90°,BC=BP,
∴△CBF≌△PBE.
∴BF=CF=PE=EB=4,
∴OF=OB+BF=6+4=10,
∴C(10,4);
第3种情况,如图3,∠PCB=90°,CP=EB,
∴∠CPB=∠EBP=45°,
在△PCB和△PEB中,CP=EB,∠CPB=∠EBP,BP=BP,
∴△PCB≌△PEB(SAS),
∴PC=CB=PE=EB=4,
∴C(6,4);
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC,点C的坐标是(6,4)、(6,8)、(10,4).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点,与y轴交于点C,过点B作BM⊥x轴,垂足为M,BM=OM,OB=2,点A的纵坐标为4.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接MC,求四边形MBOC的面积.
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【题目】求下列各式中的x的值:
(1)8x3+125=0;
(2)(x-3)2-9=0.
【答案】(1)x=-;(2)x1=6或x2=0.
【解析】试题分析:(1)立方根定义解方程.(2)平方根定义解方程.
试题解析:(1)8x3+125=0,
x3=,
x=-.
(2)(x-3)2-9=0,
(x-3)2=9,
x-3=,
x1=6或x2=0.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】(1)已知某数的平方根是和, 的立方根是,求的平方根.
(2)已知y=+-8,求的值.
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【题目】探索:小明和小亮在研究一个数学问题:已知AB∥CD,AB和CD都不经过点P,探索∠P与∠A,∠C的数量关系.
发现:在图1中,小明和小亮都发现:∠APC=∠A+∠C;
小明是这样证明的:过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A( )
∵PQ∥AB,AB∥CD.
∴PQ∥CD( )
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的:过点作PQ∥AB∥CD.
∴∠APQ=∠A,∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上,填写依据;两人的证明过程中,完全正确的是 .
应用:
在图2中,若∠A=120°,∠C=140°,则∠P的度数为 ;
在图3中,若∠A=30°,∠C=70°,则∠P的度数为 ;
拓展:
在图4中,探索∠P与∠A,∠C的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,下列结论:①GA=GP;②∠DCP=45°;③BP垂直平分CE;④GF+ FC =GA;其中正确的判断有______________.(填序号)
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【题目】一次数学课上,小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题,他是这样出的:如图,数轴上两个动点 M,N 开始时所表示的数分别为﹣10,5,M,N 两点各自以一定的速度在数轴上运动,且 M 点的运动速度为2个单位长度/s.
(1)M,N 两点同时出发相向而行,在原点处相遇,求 N 点的运动速度.
(2)M,N 两点按上面的各自速度同时出发,向数轴正方向运动,几秒时两点相距6个单位长度?
(3)M,N 两点按上面的各自速度同时出发,向数轴负方向运动,与此同时,C 点从原点出发沿同方向运动,且在运动过程中,始终有 CN:CM=1:2.若干秒后,C 点在﹣12 处,求此时 N 点在数轴上的位置.
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【题目】补全下列各题解题过程.
如图,EF∥AD,∠1 = ∠2,∠BAC = 70°,求 ∠AGD 的度数.
解:∵EF∥AD ( 已知 )
∴∠2 = ( )
又∵∠1=∠2 ( )
∴∠1=∠3 ( )
∴AB∥ ( )
∴∠BAC + = 180°( )
∵∠BAC = 70°(已知 )
∴∠AGD = _ .
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【题目】已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)若该方程的一个根为2,求a的值及该方程的另一根.
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
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