Question

在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=______．

Answer 1

如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT=90°，
∠OTB+∠MBT=90°，
∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，
∴

AM

OB

=

MB

BT

，即

AM

MB

=

OB

BT

，即MB²=2AM•BT ①
令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2-K，BM=

4+(2-K)2

，BT=2+K，
代入①中得：4+（2-K）²=2（2-K）（2+K），
解方程得：K₁=0（舍去），K₂=

4

3

．
∴AM=2-

4

3

=

2

3

．
tan∠ABM=

AM

AB

=

2 3

2

=

1

3

．
故答案是：

1

3

．