Question

1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA落在y轴的正半轴上，OA、OB的长是方x²-6x+8=0的两根，把△AOB折叠，使点B落在y轴正半轴上，折痕与AB边相交于点C．
（1）求A点的坐标．
（2）求折痕OC所在直线的解析式．
（3）点P是直线OC上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是一个菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先解方程求得OA和OB的长，然后利用勾股定理求得OA的长，则A的坐标即可求得；
（2）作CD⊥y轴于点D，则CD=BC，根据S_△ABO=S_△AOC+S_△OBC，即可求得CD的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线解析式；
（3）存在，分类讨论：①当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，且P₁点在C点下方；②当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P₂点在C点上方，Q₂在直线OC的左侧时；③当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P₃点在C点上方，Q₃在直线OC的右侧时．由菱形的性质和等边三角形的性质求出Q点的坐标．

解答 解：（1）解方程x²-6x+8=0得x=2或4，
则OB=2，OA=4，
则A的坐标是（0，4）；

（2）作CD⊥y轴于点D，如答图（1）．
∵B、D关于OC对称，
∴CD=CB，OB=OD=2，
设CD=CB=x，
∵S_△ABO=S_△AOC+S_△OBC，
∴$\frac{1}{2}$AB•OB=$\frac{1}{2}$OA•CD+$\frac{1}{2}$OB•BC，
∴2×$2\sqrt{3}$=2x+4x，
解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则C的坐标是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2），
设直线OC的解析式是y=kx，则$\frac{2\sqrt{3}}{3}$k=2，
解得：k=$\sqrt{3}$，
则OC的解析式是y=$\sqrt{3}$x；

（3）存在；
∵C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2），
∴OC=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
①当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，且P₁点在C点下方时，
∵AC=OC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P₁点与O点重合．
∵C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）
∵AO是菱形ACP₁Q₁的对角线，而AO在y轴上，
∴点Q₁与点C关于y轴对称，
∴Q₁（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．
②当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P₂点在C点上方，Q₂在直线OC的左侧时，
连接Q₂C、AP₂，交于点M．
∵∠ACP₂=∠OAB+∠AOC=60°，
∴∠ACQ₂=30°，
∴Q₂C∥y轴，
∴AP₂∥x轴，
∵A（0，4），C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）
∴M（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，4），
∵Q₂M=MC=4-2=2．
∴Q₂（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，6）．
③当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的一边，P₃点在C点上方，Q₃在直线OC的右侧时，
∵∠ACP₃=∠OAB+∠AOC=60°，AP₃=AC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△ACP₃是等边三角形．
∴∠P₃AC=60°，
∴∠P₃AO=90°，
∴P₃A∥x轴，
∵P₃A∥Q₃C，
∴Q₃C∥x轴，
∵C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2），Q₃C=AC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴Q₃（$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，2）．
④当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的对角线，且P₄点在C点上方时，可证得Q₄与Q₁重合
⑤当AC为以A、C、P、Q为顶点的菱形的对角线，且P₅点在C点下方时，由于∠ACP₅=120°，所以这样的菱形不存在．
综上所述，点Q的坐标为Q₁（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）、Q₂（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，6）或Q₃（$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及图形的折叠和菱形的判定，正确确定P的坐标是本题的关键．