Question

如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为

 

．

Answer 1

分析：由ABCD为正方形，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，又根据CG与BE垂直得到∠BCG+∠CBG=90°，根据同角的余角相等得到一对角相等，又根据一对直角相等，利用“AAS”即可得到三角形BCG与三角形FBA全等，根据全等三角形的对应边相等得到AF与BG相等，又因为FH=FB，从而得到AH=FG，然后由垂直得到一对直角相等，加上一个公共角，得到三角形APH与三角形ABF相似，根据相似得比例，设AH=FG=x，用x表示出PH，由四边形PHFB一组对边平行，另一组对边不平行得到此四边形为梯形，根据梯形的面积公式，由上底PH，下底为BF=3，高FH=3，表示出梯形的面积；然后在三角形BCG与三角形ECG中，根据同角的余角相等，再加上一对直角得到两三角形相似，根据相似得比例，用含x的式子表示出GE，由CG=3，利用表示出的GE，利用三角形的面积公式表示出直角三角形CGE的面积，把表示出的两面积相加，化简即可得到值．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，
又CG⊥BE，即∠BGC=90°，
∴∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠ABF=∠BCG，
又AF⊥BG，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
∴△ABF≌△BCG，
∴AF=BG，BF=CG=FH=3，
又∵FH=BF，
∴AH=FG，设AH=FG=x，
∵PH⊥AF，BF⊥AF，
∴∠AHP=∠AFB=90°，又∠PAH为公共角，
∴△APH∽△ABF，
∴

PH

BF

=

AH

AF

，即PH=

3x

x+3

，
∵FH∥BF，BP不平行FH，
∴四边形BFHP为梯形，其面积为

3( 3x x+3 +3)

2

=

9x

2(x+3)

+

9

2

；
又∵∠BCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠BEC=90°，
∴∠BCG=∠BEC，又∠BGC=∠CGE=90°，
∴△BCG∽△CEG，
∴

BG

CG

=

CG

GE

，即GE=

9

x+3

，故Rt△CGE的面积为

1

2

×3×

9

x+3

，
则△CGE与四边形BFHP的面积之和为

9x

2(x+3)

+

9

2

+

27

2(x+3)

=

9(x+3)

2(x+3)

+

9

2

=9．
故答案为：9

点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，此题的综合性比较强，常常综合了多个考点和数学思想方法，因而解答时需“分解题意”，即将一个大问题分解为一个一个的小问题，从而解决问题．