Question

【题目】如图所示，等边．

（1）如图（1），若，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．点，运动______秒后，为等腰三角形．

（2）如图，点位于等边的内部，且．将绕点顺时针旋转，点的对应点为点．

①依题意，补全图形；

②若，，求与的面积比．

Answer 1

【答案】（1）4秒，16秒；（2）①见解析；②1:4.

【解析】

（1）△AMN是以MN为底边等腰三角形时，证明△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，解方程得到答案；

（2）①利用射线的作法得出D点位置，并连接AD，CD；

②证明△CDP是等边三角形，求出AD，CD的长，作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N，运用勾股定理求出CM，AN的长，再根据三角形面积公式求出面积比即可.

（1）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，

AM=t，AN=AB-BN=12-2t，

∵△AMN是等边三角形，

∴AM=AN，即t=12-2t，

解得，t=4，

∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形AMN；

当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底的等腰三角形，如图2：

∵△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴∠AMC=∠ANB，

∵AB=BC=AC，

∴△ACB是等边三角形，

∴∠C=∠B=60°，

在△ACM和△ABN中，

，

∴△ACM≌△ABN（AAS）

∴CM=BN，

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y-12，NB=36-2y，

由题意得，y-12=36-2y，

解得：y=16．

若点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形，M、N运动的时间为16秒．

（2）①如图所示，

②∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠PCA+∠PCB=60°，

∵∠PCA=∠CBP，

∴∠PCB+∠PBC=60°，

∴∠BPC=180°-60°=120°，

∵∠CPD=180°-∠BPC=60°，PD=PC，

∴△CDP是等边三角形，

∴CD=CP=PD=3，∠DCP=∠ACB=60°，

∴∠DCA=∠PCB，且CA=CB，

∴△DCA≌△PCB（SAS），

∴AD=PB，

∵

∴AD=PB=12，

如图，作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N．

∵∠CDP=∠ADP=60°，

∴DM=PD=

∴CM=,

由△DCA≌△PCB得∠ADC=∠BPC=120°，

∴∠ADP=60°，

∴DN=，

∴AN=

∴