Question

已知：如图，AD=BD=CD=m，AB=n，BC=p，BC∥AD，m、n为有理数．
求证：p也有理数．

Answer 1

分析：分别过点B、D作AD、BC的垂线BE和DF，垂足分别是E、F，在Rt△ABE和Rt△BED中，分别应用勾股定理，用m和n将p表示出来，又m、n为有理数，继而可证得p也为有理数．

解答：证明：如图，分别过点B、D作AD、BC的垂线BE和DF，垂足分别是E、F，
则有BE=DF，BF=DE=FC=

p

2

，
在Rt△ABE中，BE²=n²-（m-

p

2

）²．
在Rt△BED中，BE²=m²-

p2

4

，
∴n²-（m-

p

2

）²=m²-

p2

4

．
解得：p=

2m2-n2

m

，
∵m、n都是有理数，
∴p也是有理数．

点评：本题考查了勾股定理的灵活应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形．