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如图:在△ABC中,∠ABC=30°,BC=4
3
,AB=4,以AB长为直径作⊙O交BC于点D.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙O的切线.
(1)△ABC是等腰三角形.理由如下:
如图,连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵∠ABC=30°,AB=4,
∴AD=
1
2
AB=2,
∴BD=
AB2-AD2
=
42-22
=2
3

∵BC=4
3

∴BD=
1
2
BC,即AD是BC的中垂线,
∴△ABC的等腰三角形;

(2)证明:如图,D作DE⊥AC,垂足为点E,连接OD.
∵AO=BO,CD=BD,
∴ODAC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD.
∵OD是半径,
∴直线DE是⊙O的切线.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,连接CD.
(1)求证:PABC;
(2)求⊙O的半径及CD的长.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,⊙O的直径DF与弦AB交于点E,C为⊙O外一点,CB⊥AB于点B,G是直线CD上一点,∠ADG=∠ABD,ADCE.
(1)求证:AD•CE=DE•DF.
(2)若∠DAE=30°,BC=2,AD=
5
2
,AE:BE=2:3,求
BD
的长.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图已知OB是半径,弦EF垂直OB于H,点A是HF上的一点,BA和⊙O相交于另一点C,过点C的切线和EF的延长线交于点D:
(1)求证:DA=DC;
(2)当DF:EF=1:8,DF=
2
时,求AB•AC的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,AB切⊙O于点B,AB=4cm,AO=6cm,则⊙O的半径为______cm.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,一种圆管的横截面是同心圆的圆环面,大圆的弦AB切小圆于点C,大圆的弦AD交小圆于点E和F.为了计算截面的面积,甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度:甲测得AB的长,乙测得AC的长,丙测得AD与EF的长.其中可以算出截面(图中阴影部分)面积的同学是(  )
A.甲、乙B.乙、丙C.甲、丙D.甲、乙、丙

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,AB、CD是⊙0的两条平行弦,BEAC交CD于E.过A点的切线交DC延长线于P,若AC=3
2
,求PC•CE的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,扇形OAB的半径OA=r,圆心角∠AOB=90°,点C是
AB
上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,点M在DE上,DM=2EM,过点C的直线PC交OA的延长线于点P,且∠CPD=∠CDE.
(1)求证:DM=
2
3
r;
(2)求证:直线PC是扇形OAB所在圆的切线;
(3)设y=CD2+3CM2,当∠CPO=60°时,请求出y关于r的函数关系式.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆,这两个圆的位置关系是______.

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