Question

【题目】凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．
（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？
（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：设一次购买x只，

则20﹣0.1（x﹣10）=16，

解得：x=50．

答：一次至少买50只，才能以最低价购买

（2）解：当10＜x≤50时，

y=[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=﹣0.1x2+9x，

当x＞50时，y=（16﹣12）x=4x；

综上所述：y=

（3）解：y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，

①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．

②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．

且当x=46时，y1=202.4，

当x=50时，y2=200．

y1＞y2．

即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．

当x=45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大

【解析】本题考查了二次函数的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣ 时取得．（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到20﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；（2）由于根据（1）得到x≤50，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；（3）首先把函数变为y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．