Question

4．已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交$\widehat{PQ}$于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：①$\widehat{PC}$=$\widehat{CQ}$；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；根据平行线的性质可得出∠POQ=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ=$\frac{1}{2}$∠POQ=∠POC，进而可得出$\widehat{PC}$=$\widehat{CQ}$，OC平分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB的度数未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误．综上即可得出结论．

解答 解：∵OQ为直径，
∴∠OPQ=90°，OA⊥PQ．
∵MC⊥PQ，
∴OA∥MC，结论②正确；
∵OA∥MC，
∴∠POQ=∠CMQ．
∵∠CMQ=2∠COQ，
∴∠COQ=$\frac{1}{2}$∠POQ=∠POC，
∴$\widehat{PC}$=$\widehat{CQ}$，OC平分∠AOB，结论①④正确；
∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，
∴∠POQ不一定等于∠PQO，
∴OP不一定等于PQ，结论③错误．
综上所述：正确的结论有①②④．
故选C．

点评 本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键．