Question

24、如图，已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，P是AE的中点，连接PC，PD．
（1）在图中画出△PAC关于点P成中心对称的图形；
（2）判断PC与PD的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用图象关于点P成中心对称时，对应点到对称中心的距离相等，得到P″P=CP，连接P″E，即得出符合要求的图形；
（2）由△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，P是AE的中点，以及（1）中结论，得出PD是等腰直角△CDP″斜边上的中线和高线，即可得出结论．

解答：解：（1）如图所示，延长CP使得CP=CP″，连接P″E，即可得出所要图形；
（2）PC=PD，PC⊥PD；
证明：∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，P是AE的中点，△PAC与△PEP″关于点P成中心对称的图形．
∴PC=PP″，AP=PE，∠CDP″=90°，P″E=AC，AC=BC，
∴PD=PC，CD=P″D，
∴PC⊥PD．
故：PC与PD的关系是：PD=PC，PC⊥PD．

点评：此题主要考查了图形关于某点成中心对称的性质与等腰直角三角形的性质和它斜边上中线的性质等知识．