Question

【题目】如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（ ）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由角平分线的性质可知①正确；

②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=AD，DF=AD，从而可证明②正确；

③若DM平分∠EDF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；

④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．

解：如图所示：连接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
∴①正确．
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=AD．
同理：DF=AD．
∴DE+DF=AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．
假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=90°．
∴∠ABC=90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF，
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中

，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE=FC．
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC
又∵AE=AF，BE=FC，
∴AB+AC=2AE．故④正确．

综上所述，①②④正确，
故选：C．