Question

4．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是矩形ABCD边上一点，当△ABP为等腰三角形时，求点D到△ABP的最长边的距离．（画出符合题意的图形，及表示距离的线段，直接写出答案即可）．

Answer 1

分析 分三种情况：①点P在AD边上时，作DM⊥BP于M，则△ABP是等腰直角三角形，得出AP=AB=3，△MPD是等腰直角三角形，PD=AD=AP=1，得出DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②点P在BC边上时，作DM⊥AP于M，则△ABP是等腰直角三角形，得出BP=AB=3，证出△MAD是等腰直角三角形，PD=AD=AP=1，即可得出底面的长；
③点P在CD边上时，点P为CD的中点，点D到AP和BP的距离相等，作DM⊥AP于M，由勾股定理得求出AP，再由三角形ADPMJ的计算方法求出DM即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，CD=AB=3，
分三种情况：
①点P在AD边上时，如图1所示：
作DM⊥BP于M，则△ABP是等腰直角三角形，
∴AP=AB=3，∠MPD=∠APB=45°，
∴△MPD是等腰直角三角形，PD=AD=AP=1，
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②点P在BC边上时，如图2所示：
作DM⊥AP于M，则△ABP是等腰直角三角形，
∴BP=AB=3，∠BAP=45°，
∴∠MAD=45°，
∴△MAD是等腰直角三角形，PD=AD=AP=1，
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2$\sqrt{2}$；
③点P在CD边上时，如图3所示：
点P为CD的中点，点D到AP和BP的距离相等，
作DM⊥AP于M，
由勾股定理得：AP=$\sqrt{A{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{2}$，
由△APD的面积得：AP•DM=AD•PD，
即$\frac{\sqrt{73}}{2}$×DM=4×$\frac{3}{2}$，
解得：DM=$\frac{12\sqrt{73}}{73}$；
即当△ABP为等腰三角形时，点D到△ABP的最长边的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或2$\sqrt{2}$或$\frac{12\sqrt{73}}{73}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形和运用勾股定理是解决问题的关键．