Question

13．已知，点E、F分别在直线AB，CD上，点P在AB、CD之间，连结EP、FP，如图1，过FP上的点G作GH∥EP，交CD于点H，且∠1=∠2．

（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分∠EJF，且JK∥AB，则∠BEP与∠EPF之间有何数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，折叠后的两射线交于点M，当EM⊥FM时，求∠EPF的度数．

Answer 1

分析 （1）延长FP交AB于点Q，根据三角形的外角性质和平行线性质证明即可；
（2）延长FP交CD于点Q，根据折叠和平行线的性质解答即可；
（3）延长FP交AB于点Q，根据折叠和四边形的内角和进行分析解答．

解答 解：（1）延长FP交AB于点Q，如图1，

∵PE∥HG，
∴∠GPE=∠HGP，
∵∠GPE=∠1+∠PQE，∠HGP=∠2+∠HFG，
∵∠1=∠2，
∴∠PQE=∠HFG，
∴AB∥CD；
（2）延长FP交CD于点Q，如图2，

∠EPF+$\frac{3}{2}$∠BEP=270°，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BEP+∠FQP=180°，
∵将射线FC沿FP折叠，
∴∠QFP=∠PFJ，
∵JK∥AB，
∴JK∥CD，
∴∠FJK=2∠CFP，
∵∠EPF=∠EQF+∠QFP，
∴∠EPF=180°-∠BEP+∠QFP，
∵JK平分∠EJF，
∴∠FJK=∠KJE，
∵JK∥CD，
∴∠KJE=∠FQP，
∴∠EPF=180°-∠BEP+$\frac{1}{2}$∠FJK，
∴∠EPF=180°-∠BEP+$\frac{1}{2}×（180°-∠BEP）$，
∴∠EPF+$\frac{3}{2}$∠BEP=270°；
（3）延长FP交AB于点Q，如图3，

∵AB∥CD，
∴∠CFQ=∠PQE，
∵将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，
∴∠CFP=∠PFM，∠MEP=∠PEQ，
∵∠FPE=∠PQE+∠PEQ，
在四边形FPEM中，
∠PFM+∠MEP+∠FPE=360°-90°=270°，
可得：2∠FPE=270°，
∴∠FPE=135°．

点评 此题考查平行线的判定和性质，关键是构建平行线，利用三角形的外角和四边形的内角和进行解答．