Question

【题目】我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为圆满四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有 ．
（2）问题探究：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ADB=∠ACB，问四边形ABCD是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明△AOD∽△BOC，得到比例式 = ，再证明△AOB∽△DOC，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．

（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图，四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，AB与DC的延长线相交于点E，BE=BD，AB=5，AD=3，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）矩形，正方形
（2）

解：证明：∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC，

∴∠DAO=∠CBO，

∴△AOD∽△BOC，

∴ ，又∵∠AOB=∠DOC，

∴△AOB∽△DOC，

∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD．

∴∠ADB+∠ODC+∠OBA+∠OBC=∠ACB+∠OAB+∠OCD+∠OAD=180°，

即∠ADB+∠ABC=∠DCB+∠DAB=180°．

∴四边形ABCD是圆满四边形

（3）

解：如图，∵AD⊥BD，AC⊥BC，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∴四边形ABCD是圆满四边形，

由上可得，∠DAB+∠DCB=∠ADC+∠ABC=180°，∠BDC=∠BAC．

又∵BE=BD，

∴∠BED=∠BDC=∠BAC，

∴AC=EC．

又∵∠BCE+∠DCB=180°，

∴∠BCE=∠DAB，

又∠BEC=∠DEA，

∴△BEC∽△DEA，

∴ ，

设AC=EC=x，则BC= =

BD= =4，

∴EA=5+4=9，

∴ ，解得，x= ．

即：CE=

【解析】解：（1）∵矩形和正方形的四个内角都是90°，
∴矩形和正方形的两组对角的和为180°，
∴矩形，正方形是圆满四边形．
故答案是：矩形，正方形；
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．