Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为

5

．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可知C（0，-3），-

b

2a

=1，
∴抛物线的解析式为y=ax²-2ax-3（a＞0），
过M作MN⊥y轴于N，连接CM，则MN=1，CM=

5

，
∴CN=2，于是m=-1．
同理可求得B（3，0），
∴a×3²-2a×3-3=0，得a=1．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）由（1）得A（-1，0），E（1，-4），B（3，0），C（0，-3）．
∵M到AB，CD的距离相等，OB=OC，
∴OA=OD，
∴点D的坐标为（0，1），
∴在Rt△BCO中，BC=

OB2+OC2

=3

2

，
∴

OB

OD

=

3

1

=3，
在△BCE中，∵BC²+CE²=（3²+3²）+[（1-0）²+（-4+3）²]=20=（3-1）²+（0+4）²=BE²
∴△BCE是Rt△

BC

CE

=

3 2

2

=3，
∴

OB

OD

=

BC

CE

，
即

OB

BC

=

OD

CE

，
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，
因此sin（α-β）=sin（∠DBC-∠OBD）=sin∠OBC=

CO

BC

=

2

2

．

（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0）．
过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，
由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得P₂（0，

1

3

）．
过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）．
故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），P₂（0，

1

3

），P₃（9，0），
使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．