Question

如图1，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠DCE-∠HAE=90°．
（1）求证：BH∥CD．
（2）如图2：直线AF交DC于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE．试探究∠MAN，∠AFG的数量关系．

Answer 1

分析：（1）延长AE交DC于F，根据AE⊥CE垂直可得∠CEF=90°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DCE-∠AFD=∠CEF=90°，从而得到∠HAE=∠AFD，再根据内错角相等，两直线平行即可得证；
（2）根据角平分线的定义表示出∠EAM、∠EAN，然后求出∠MAN，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠AFG，从而得解．

解答：（1）证明：如图，延长AE交DC于F，
∵AE⊥CE，
∴∠CEF=90°，
根据三角形的外角性质，∠DCE-∠AFD=∠CEF=90°，
又∵∠DCE-∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠AFD，
∴BH∥CD；

（2）解：∵AM平分∠EAF，AN平分∠BAE，
∴∠EAM=

1

2

∠EAF，∠EAN=

1

2

∠BAE=

1

2

（∠EAF+∠BAF），
∴∠MAN=∠EAN-∠EAM=

1

2

（∠EAF+∠BAF）-

1

2

∠EAF=

1

2

∠BAF，
∵BH∥CD，
∴∠BAF=∠AFG，
∴∠MAN=

1

2

∠AFG．

点评：本题考查了平行线的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．