Question

【初始问题】如图1，已知两个同心圆，直线AD分别交大⊙O于点A、D，交小⊙O于点B、C．AB与CD相等吗？请证明你的结论．
【类比研究】如图2，若两个等边三角形ABC和A₁ B₁ C₁的中心（点Ｏ）相同，且满足AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，AC∥A₁C₁，可知AB与A₁B₁，BC与B₁C₁，AC与A₁C₁之间的距离相等.直线MQ分别交三角形的边于点M、N、P、Q，与AB所成夹角为∠α（30°＜∠α＜90°）．

小题1:（１）求（用含∠α的式子表示）；
小题2:（２）求∠α等于多少度时，MN = PQ．

Answer 1

小题1:解：【初始问题】结论：AB = CD．     ……………………… 1分
证明：如图，作OE⊥AD于E．
∴ AE=ED，BE=EC．     …………………………………………… 2分
∴ AE-BE=ED-EC．
即AB=CD．     ……………………………………………………… 3分
【类比研究】（1）如图，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E． ……… 4分
则ND=PE．
∵AB∥A₁B₁，
∴ ∠1=∠α．
∵等边三角形A₁ B₁ C₁中，∠A₁=60°，
∴ ∠2=120°-∠1=120°-∠α．
∵AC∥A₁C₁，
∴ ∠PQE=∠2=120°-∠α．
∵30°＜∠α＜90°，
∴ 30°＜120°-∠α＜90°．
∴ 在Rt△MDN和Rt△QEP中，
DN=MN，PE= PQ．   …………………… 6分
∴MN= PQ．
∴． 
小题2:（2）当120°-∠α =∠α时，即∠α = 60°时，MN=PQ．

略