Question

12．一次函数y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内做等边△ABC
（1）求△ABC的面积和点C的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，$\frac{1}{2}$），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．
（3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先令x=0，y=0求出一次函数的解析式．然后根据勾股定理求出AB的长，继而可求出三角形ABC的面积．
（2）依题意可得出S_{四边形ABPO}=S_△ABO+S_△BOP．
（3）设出点M的坐标，分三种，列方程即可得出结论．

解答 解：（1）y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）．
∵△AOB为直角三角形，
∴AB=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×sin60°=$\sqrt{3}$．
∵A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）．
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAC=90°，
∴C（1，2）；
（2）如图1，

S_{四边形ABPO}=S_△ABO+S_△BOP=$\frac{1}{2}$×OA×OB+$\frac{1}{2}$×OB×h=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{1}{2}$×1×|a|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a．
∵P在第二象限，
∴a＜0
∴S_{四边形ABPO}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-a}{2}$，
（3）如图2，

设点M（m，0），
∵A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）．
∴AM²=（m-$\sqrt{3}$）²，MB²=m²+1，AB=2，
∵△MAB为等腰三角形，
∴①MA=MB，
∴MA²=MB²，
∴（m-$\sqrt{3}$）²=m²+1，
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）
②MA=AB，
∴MA²=AB²，
∴（m-$\sqrt{3}$）²=4，
∴m=$\sqrt{3}$±2，
∴M（$\sqrt{3}$+2，0）或（$\sqrt{3}$-2，0）
③MB=AB，
∴MB²=AB²，
∴m²+1=4，
∴m=$\sqrt{3}$（舍）或m=-$\sqrt{3}$．
∴M（-$\sqrt{3}$，0）．
∴满足条件的M的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）、（$\sqrt{3}$+2，0）、（$\sqrt{3}$-2，0）、（-$\sqrt{3}$，0）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、解直角三角形，等腰三角形的性质，要充分利用函数的特点图形的特征．