Question

12．如图1，在?ABCD中，E、F两点分别从A、D两点出发，以相同的速度在AD、DC边上匀速运动（E、F两点不与?ABCD的顶点重合），连结BE、BF、EF．

（1）如图2，当?ABCD是矩形，AB=6，AD=8，∠BEF=90°时，求AE的长．
（2）如图2，当?ABCD是菱形，且∠DAB=60°时，试判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，在第（2）题的条件下，设菱形ABCD的边长为a，AE的长为x，试求△BEF面积y与x的函数关系式，并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）依据矩形的性质可知∠D=∠A=90°，接下来，依据同角的余角相等可得到∠DFE=∠AEB，然后依据ASAS证明△DEF≌△ABE，依据全等三角形的性质可得到DE=6，从而可求得AE的长；
（2）连结BD．首先证明△ADB为等边三角形，于是得到BD=BC，然后再证明△BED≌△BFC，△AEB≌△DFB，由全等三角形的性质得到BE=BF，∠ABE=∠DBF，接下来证明∠EBF=60°，从而可判定△EBF为等边三角形．
（3）过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．首先依据特殊锐角三角函数值可求得EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，NE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，然后依据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积列出y与x的函数关系式，最后依据二次函数的性质求解即可．

解答 解：（1）如图1所示：

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠A=90°．
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°．
又∵∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠AEB．
在△DEF和△ABE中$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠AEB}\\{DF=AE}\\{∠D=∠A=90°}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△ABE．
∴AB=DE=6．
∴AE=AD-DE=8-6=2．
（2）如图2所示：连结BD．

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴AD=AB=DC=BC，∠EDB=60°．
∵∠A=60°，AD=AB，
∴△ADB为等边三角形．
∴AD=AB=BD．
∴DB=BC．
∵AD=DC，AE=DF，
∴DE=FC．
在△BED和△BFC中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=FC}\\{∠EDB=∠C}\\{DB=CB}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BFC．
∴BE=BF．
在△AEB和△DFB中$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠A=∠FDB=60°}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DFB．
∴∠ABE=∠DBF．
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠ABE+∠EBD=60°．
∴△EBF为等边三角形．
（3）如图3所示：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．

∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，NE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•a-$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$•x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x）-$\frac{1}{2}$•（a-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$ax+$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．
∴当x=-$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{4}a}{\frac{\sqrt{3}}{4}×2}$=$\frac{a}{2}$时，y取得最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{16}$a²．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定、二次函数的顶点坐标公式，依据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积列出y与x的函数关系式是解题的关键．