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如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.

(1)点A的坐标为    ,直线l的解析式为    

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;

(3)试求(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;

(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.

解:(1)(﹣4,0);y=x+4。

(2)在点P、Q运动的过程中:

①当0<t≤1时,如图1,

过点C作CF⊥x轴于点F,则CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5。

过点Q作QE⊥x轴于点E,则BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t。

∴PE=PB﹣BE=(14﹣2t)﹣3t=14﹣5t,

S=PM•PE=×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t。

②当1<t≤2时,如图2,

过点C、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,则CQ=5t﹣5,PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣(5t﹣5)=16﹣7t。

S=PM•PE=×2t×(16﹣7t)=﹣7t2+16t。

③当点M与点Q相遇时,DM+CQ=CD=7,

即(2t﹣4)+(5t﹣5)=7,解得t=

当2<t<时,如图3,

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,

S=PM•MQ=×4×(16﹣7t)=﹣14t+32。

综上所述,点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为

(3)①当0<t≤1时,

∵a=﹣5<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=

∴当0<t≤1时,S随t的增大而增大。

∴当t=1时,S有最大值,最大值为9。

②当1<t≤2时,

∵a=﹣7<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=

∴当t=时,S有最大值,最大值为

③当2<t<时,S=﹣14t+32

∵k=﹣14<0,∴S随t的增大而减小。

又∵当t=2时,S=4;当t=时,S=0,∴0<S<4。

综上所述,当t=时,S有最大值,最大值为

(4)t=或t=时,△QMN为等腰三角形。

【解析】(1)利用梯形性质确定点D的坐标,由sin∠DAB=,利用特殊三角函数值,得到△AOD为等腰直角三角形,从而得到点A的坐标;由点A、点D的坐标,利用待定系数法求出直线l的解析式:

 ∵C(7,4),AB∥CD,∴D(0,4)。

∵sin∠DAB=,∴∠DAB=45°。∴OA=OD=4。∴A(﹣4,0)。

设直线l的解析式为:y=kx+b,则有,解得:。∴y=x+4。

∴点A坐标为(﹣4,0),直线l的解析式为:y=x+4。

(2)弄清动点的运动过程分别求解:①当0<t≤1时,如图1;②当1<t≤2时,如图2;③当2<t<时,如图3。

(3)根据(2)中求出的S表达式与取值范围,逐一讨论计算,最终确定S的最大值。

(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论:

①如图4,点M在线段CD上,

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,MN=DM=2t﹣4,

由MN=MQ,得16﹣7t=2t﹣4,解得t=

②如图5,当点M运动到C点,同时当Q刚好运动至终点D,

此时△QMN为等腰三角形,t=

∴当t=或t=时,△QMN为等腰三角形。

考点:一次函数综合题,双动点问题,梯形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,由实际问题列函数关系式,一次函数和二次函数的性质,等腰三角形的性质,分类思想的应用。

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