分析 (1)当点F落在CD上时,如答图1所示,可知△DEF、△PCF均为等腰直角三角形,利用几何图形性质求出t的值;
(2)点P的运动过程,可分为三种情形,分别如答图2-1,答图2-2,答图2-3所示,需要分类讨论,分别求解;
(3)点P、Q的运动过程,满足题意条件的有三种情形,分别如答图3-1,答图3-2,答图3-3所示,需要分类讨论,分别求解.
解答 解:(1)由题意可知,△ACD为等腰直角三角形,
∴AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×8$\sqrt{2}$=8.
如答图1,过点A作AG⊥BC于点G,则△ACG为等腰直角三角形.
∴AG=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×8$\sqrt{2}$=8.
在Rt△ABG中,BG=$\frac{AG}{tanB}$=$\frac{8}{4}$=2,
∴BC=BG+CG=2+8=10.
当点F落在CD上时,可知△DEF、△PCF均为等腰直角三角形,
∴DE=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF,PC=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF.
∵△PEF为等腰直角三角形,EF=PF,
∴PC=CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=4,
∴BP=BC-PC=10-4=6.
∴当点F恰好落在CD上时,t=6s.
(2)在点P运动过程中:
①当0≤t<2时,如答图2-1所示.
PE=BP•tanB=4t,
S=$\frac{1}{4}$PE2=$\frac{1}{4}$(4t)2=4t2;
②当2≤t<6时,如答图2-2所示.
S=$\frac{1}{4}$PE2=$\frac{1}{4}$×82=16;
③当6≤t≤10时,如答图2-3所示.
设EF、PF分别与CD交于点K、J,易知△DEK、△PCJ均为等腰直角三角形,
∴DK=CJ=PC=10-t,
KJ=CD-DK-CJ=8-2(10-t)=2t-12,
∴S=$\frac{1}{2}$(KJ+PE)•PC=$\frac{1}{2}$(2t-12+8)(10-t)=-t2+12t-20.
综上所述,S与t之间的函数关系式为:
S=$\left\{\begin{array}{l}{4{t}^{2}(0≤t<2)}\\{16(2≤t<6)}\\{-{t}^{2}+12t-20(6≤t≤10)}\end{array}\right.$.
(3)在点P、Q的运动过程中:
①当EF与NQ落在同一直线上时,如答图3-1所示.
此时,△PEQ为等腰直角三角形,则PQ=PE=4t.
∴BC=BP+PQ+CQ=t+4t+2t=10,
∴t=$\frac{10}{7}$s;
②当PF与MN落在同一直线上时,如答图3-2所示.
此时,△PQF为等腰直角三角形,则PQ=QF=CQ=2t.
∴BC=BP+PQ+CQ=t+2t+2t=10,
∴t=2s;
③当PE与QM落在同一直线上时,如答图3-3所示.
∴BC=BP+CQ=t+2t=10,
∴t=$\frac{10}{3}$s.
综上所述,满足条件的t的值为:$\frac{10}{7}$或2或$\frac{10}{3}$.
点评 本题是四边形综合题,运动型几何综合题,等腰三角形的性质,组合图形的面积,渗透分类讨论的数学思想,解题关键是深刻理解图形的运动过程.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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