Question

已知两个关于x的二次函数y₁与y₂，y₁=a（x-k）²+2（k＞0），y₁+y₂=x²+6x+12；当x=k时，y₂=17；且二次函数y₂的图象的对称轴是直线x=-1．
（1）求k的值；
（2）求函数y₁，y₂的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数y₁的图象与y₂的图象是否有交点？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意把y₁代入y₁+y₂=x²+6x+12中即可求出y₂，又当x=k时，y₂=17，代入函数解析式，求出k的值；
（2）根据k的值及y₂的图象的对称轴求出a的值，即可求出二次函数的解析式；
（3）根据题意画出各函数的图象，便可直接解答；

解答：解：（1）由y₁=a（x-k）²+2，y₁+y₂=x²+6x+12，
∴y₂=（y₁+y₂）-y₁，
=x²+6x+12-a（x-k）²-2，
=x²+6x+10-a（x-k）²，
又∵当x=k时，y₂=17，
即k²+6k+10=17，
∴k₁=1，或k₂=-7（舍去），
故k的值为1；

（2）由k=1，得y₂=x²+6x+12-a（x-1）²-2=（1-a）x²+（2a+6）x+10-a，
∴函数y₂的图象的对称轴为x=-

2a+6

2(1-a)

，
∴-

2a+6

2(1-a)

=-1，
∴a=-1，
所以y₁=-x²+2x+1，y₂=2x²+4x+11；

（3）由y₁=-（x-1）²+2，得函数y₁的图象为抛物线，其开口向下，
顶点坐标为（1，2）；
由y₂=2x²+4x+11=2（x+1）²+9，得函数y₂的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为（-1，9）；
故在同一直角坐标系内，函数y₁的图象与y₂的图象没有交点．

点评：本题是一道函数压轴题，主要考查了二次函数的性质、一元二次方程等知识，难度比较恰当解第3小题时要学会画图，比较直观的看出它们是否有交点，再予以说明．