【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AB=3,点M,N分别在线段AC,AB上,将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,若△DCM为直角三角形时,则AM的长为_____.
【答案】2或3﹣3
【解析】
依据△DCM为直角三角形,需要分两种情况进行讨论:当∠CDM=90°时,△CDM是直角三角形;当∠CMD=90°时,△CDM是直角三角形,分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质,即可得到AM的长.
解:分两种情况:
①如图,当∠CDM=90°时,△CDM是直角三角形,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AB=3,
∴AC=2AB=6,∠C=30°,由折叠可得,∠MDN=∠A=60°,
∴∠BDN=30°,
∴BN=DN=AN,
∴BN=AB=1,
∴AN=2BN=2,
∵∠DNB=60°,
∴∠ANM=∠DNM=60°,
∴∠AMN=60°,
∴AM=AN=2;
②如图,当∠CMD=90°时,△CDM是直角三角形,
由题可得,∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,
∴∠BDN=60°,∠BND=30°,
∴BD=DN=AN,BN=BD,
又∵AB=3,
∴AN=6(2﹣),BN=6﹣9,
过N作NH⊥AM于H,则∠ANH=30°,
∴AH=AN=3(2﹣),HN=6﹣9,
由折叠可得,∠AMN=∠DMN=45°,
∴△MNH是等腰直角三角形,
∴HM=HN=6﹣9,
∴AM=AH+HM=3(2﹣)+6﹣9=3﹣3,
故答案为:2或3﹣3.
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【题目】如图,海中有一小岛P,在距小岛P的海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里,若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行,才能安全通过这一海域?
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【题目】如图,某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高,测角仪高AF=2米,先在A处测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°,此时教学楼顶端G恰好在视线FH上,再向前走20米到达B处(AB=20米),又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°.点A、B、C三点在同一水平线上.
(1)求古树BH的高;
(2)求教学楼CG的高.(结果保留根号)
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【题目】有甲,乙两个电子团队整理一批电脑数据,整理电脑的台数为(台)与整理需要的时间之间关系如下图所示,请依据图象提供的信息解答下列问题:
(1)乙队工作小时整理_____台电脑,工作时两队一共整理了_______台;
(2)求甲、乙两队与的关系式.
(3)甲、乙两队整理电脑台数相等时,直接写出的值.
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【题目】如图,已知反比例函数(k≠0)的图像与一次函数y=-x+b的图像在第一象限交于A、B两点,BC⊥x轴于点C,若△OBC的面积为2,且A点的纵坐标为4,B点的纵坐标为1.
(1)求反比例函数、一次函数的表达式及直线AB与x轴交点E的坐标;
(2)已知点D(t,0)(t>0),过点D作垂直于x轴的直线,在第一象限内与一次函数y=-x+b的图像相交于点P,与反比函数上的图像相交于点Q,若点P位于点Q的上方,请结合函数图像直接写出此时t的取值范围.
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【题目】(1)在正方形ABCD中,G是CD边上的一个动点(不与C、D重合),以CG为边在正方形ABCD外作一个正方形CEFG,连结BG、DE,如图①.直接写出线段BG、DE的关系 ;
(2)将图①中的正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度,如图②,试判断(1)中的结论是否成立?若成立,直接写出结论,若不成立,说明理由;
(3)将(1)中的正方形都改为矩形,如图③,再将矩形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度,如图④,若AB=a,BC=b;CE =ka,CG=kb,()试判断(1)中的结论是否仍然成立?并说明理由.
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【题目】甲、乙两人用如图的两个分格均匀的转盘A、B做游戏,游戏规则如下:分别转动两个转盘,转盘停止后,指针分别指向一个数字(若指针停止在等份线上,那么重转一次,直到指针指向某一数字为止).用所指的两个数字相乘,如果积是奇数,则甲获胜;如果积是偶数,则乙获胜.请你解决下列问题:
(1)用列表格或画树状图的方法表示游戏所有可能出现的结果.
(2)求甲、乙两人获胜的概率.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(4,0)、B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;
(2)把(1)中所求出的抛物线记为C1,将C1向右平移m个单位得到抛物线C2,C1与C2的在第一象限交点为M,过点M作MK于K,MG⊥x轴于点G,交线段AC于点H,连接CM.
①求线段MK长度的最大值;
②当△CMH为等腰三角形时,求抛物线向右平移的距离m和此时点M的坐标.
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【题目】央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注.我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查,对收集的信息进行统计,绘制了下面两副尚不完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题:
图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”.
(1)被调查的总人数是_____________人,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为_______.
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有学生1800人,请根据上述调查结果,估计该校学生中A类有__________人;
(4)在抽取的A类5人中,刚好有3个女生2个男生,从中随机抽取两个同学担任两角色,用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.
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