Question

某汽车品牌推出一款SUV车型，公司指导销售价为20万元/辆．但由于产品市场反应良好，供不应求，多年来该汽车品牌经销商及4S店一直采用加价提车的销售模式，即购车花费=指导销售价+加价提车费．通常，一款新车从进入市场，被市场认可，最后被新产品所淘汰的生产销售过程约为10年．据专家估计，此SUV车型在A地1至10年的销售数量p（辆）与年份x满足函数关系式p=100x•（14-x）（1≤x≤10，且x取整数）．据以往市场经验，该地区加价提车费y（万元/辆）与年份x（1≤x≤10，且x取整数）满足的函数关系如下表：

年份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
加价费y（万元/辆）	3	1.5	1	0.75	0.6	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求出y与x之间的函数关系多；
（2）求该车型1至10年内，在A地的销售额W（万元）与x（年）之间的函数关系式，并求出哪年的销售额最大，且最大销售额是多少万元？
（3）天有不测风云，第6年国际原油价格上涨，影响消费者的购买需求，该SUV车型出现较大库存．为扭转局面，应对危机，公司决定第7年起将指导销售价在原有基础上减少0.5a%，A地经销商及4S店也推出提车加价费打八折的活动，结果当年A地的销售数量比预期提高2a%，从而实现了A地第7年107800万元的销售额．请你参考以下数据，估算出整数a的值（0＜a＜10）．（71.4²≈5097.96，71.5²≈5112.25，71.6²≈5126.56，71.7²≈5140.89）

Answer 1

分析：（1）根据当1≤x≤6时，y与x成反比例函数关系，当7≤x≤10时，y=0.5，分别求出即可；
（2）①当1≤x≤6，且x取整数时，W=p•（20+y）=100x•（14-x）（20+

3

x

），②当7≤x≤10，且x取整数时，W=p（20+y）分别求出即可；
（3）当x=7时，P=100×7×7=4900，由题意得出：销售价×销量=销售额得出[20（1-0.5a%）+0.5×0.8]×4900（1+2a%）=107800，进而求出即可．

解答：解：（1）经观察得出：当1≤x≤6时，y与x成反比例函数关系，设y=

k

x

∵x=1时，y=3，∴k=3×1=3，∴y=

3

x

，
当7≤x≤10时，y=0.5，
∴y=

3 x (1≤x≤6，且x取整数) 0.5(7≤x≤10，且x取整数)

，
经验证，表中其余各组数值均符合该函数关系；

（2）由题意得出：
①当1≤x≤6，且x取整数时，
W=p•（20+y）=100x•（14-x）（20+

3

x

）=-2000x²+27700x+4200，
∵-

b

2a

=-

27700

-4000

=

277

40

=6

37

40

=6.925，不是整数，
∴x=6时，W有最大值=98400；
②当7≤x≤10，且x取整数时，W=p（20+y）=100x（14-x）（20+0.5）=-2050x²+28700x，
∵-

b

2a

=7，∴x=7时，W有最大值=100450，
∵100450＞98400，
∴x=7时，W有最大值，
答：当第7年，可获得最大销售额100450万元．

（3）当x=7时，P=100×7×7=4900，
由题意得出：[20（1-0.5a%）+0.5×0.8]×4900（1+2a%）=107800，
∴（20.4-10a%）（1+2a%）=22，
设a%=t，经整理得出：50t²-77t+4=0，
∵△=77 ²-4×50×4=5129，
∴t=

77± 5129

100

，
∴t₁=

77-71.6

100

≈0.054，
∴t₂=

77+71.6

100

≈1.486（不合题意舍去），
∴a=100t=5.4≈5，
故a=5．

点评：此题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值和一元二次方程的应用等知识，此题阅读量较大，是中考中难点问题，根据已知得出第7年指导销售价是解题关键．