Question

（人教版）已知平面直角坐标系中，B（-3，0），A为y轴正半轴上一动点，半径为

5

2

的⊙A交y轴于点G、H（点G在点H的上方），连接BG交⊙A于点C．

（1）如图①，当⊙A与x轴相切时，求直线BG的解析式；
（2）如图②，若CG=2BC，求OA的长；
（3）如图③，D为半径AH上一点，且AD=1，过点D作⊙A的弦CE，连接GE并延长交x轴于点F，当⊙A与x轴相离时，给出下列结论：①

OG2

OF

的值不变；②OG•OF的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．

Answer 1

分析：（1）根据题意应先求出G点的坐标，再将B、G两点的坐标代入一次函数关系式y=kx+b中；
（2）由题意需过点C作CM⊥GH于点M，再利用比例线段求解；
（3）需连接CH、EH，作DN⊥EG于点N，再求

OG2

OF

的值．

解答：解：（1）⊙A与x轴相切，OA=

5

2

，G（0，5）．
设直线BG的解析式为：y=kx+b，将B、G两点的坐标代入一次函数关系式y=kx+b中，

-3k+b=0 b=5

，
解得：

k= 5 3 b=5

得出直线BG的解析式为：y=

5x

3

+5，
y=

5x

3

+5．

（2）
过点C作CM⊥GH于点M，则CM∥BO，
∴△GCM∽△GBO，
∴

CG

BC

=

CM

BO

，
∵CG=2BC，B0=3，
∴

CM

3

=

2

3

，
∴CM=2．
设GM=x，则MH=5-x，
∴x（5-x）=2²，
解得：x_l=1，x₂=4，
∴MG=1或MG=4．
GO=6或GO=

3

2

，
当GO=

3

2

＜

5

2

，
则A点在y轴的负半轴，不合题意，故舍．
∴GO=6．∴OA=GO-AG=

7

2

．

（3）

OG2

OF

的值不变，其值为7．
证明：连接CH、EH，作DN⊥EG于点N，则DN∥HE．
OG=OB•

DN

NE

①，
同理OG=FO•

GN

DN

②，

OG2

OF

=0B•

GN

NE

=7，
故

OG2

OF

的值不变，其值为7．

点评：此题作为压轴题，综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．