Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与反比例函数在第三象限内的图象交于点B（-1，n），点C是反比例函数图象上的点，CD⊥x轴于点D，连接CA、CO，tan∠COD=cos∠ACD，AC=2.5，AD：CD=3：4．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求直线AB的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根据AD：CD=3：4可设AD=3x，CD=4x，由勾股定理可知AC=5x，再由AC=2.5可求出x的值，进而得出CD及AD的长度，再由tan∠COD=cos∠ACD可得出

CD

OD

=

CD

AC

可求出OD得长度，故可得出C点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）先把点B（-1，n）代入（1）中所求反比例函数解析式可得出n的值，故可得出B点坐标，再由（1）中OD及AD的长可得出A点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式．

解答：解：（1）∵CD⊥x轴于点D，AD：CD=3：4，
∴设AD=3x，CD=4x，AC=

CD2+AD2

=

(4x)2+(3x)2

=5x，
∵AC=2.5，
∴5x=2.5，解得x=0.5，
∴AD=3×0.5=1.5，CD=4×0.5=2，
∵tan∠COD=cos∠ACD，
∴

CD

OD

=

CD

AC

，即

2

OD

=

2

2.5

，解得OD=2.5，
∴C（2.5，2），
设此反比例函数的解析式为：y=

k

x

，
将C（2.5，2）代入y=

k

x

得，
k=2.5×2=5；
故反比例函数的解析式为y=

5

x

；

（2）∵点B（-1，n）在反比例函数y=

5

x

的图象上，
∴n=

5

-1

=-5，则B点坐标为（-1，-5），
由（1）可知，OD=2.5，AD=1.5，故OA=2.5+1.5=4，
则A点坐标为（4，0），
设函数解析式为y=kx+b，将A（4，0），B（-1，-5）分别代入解析式得，

4k+b=0 -k+b=-5

，
解得，

k=1 b=-4

，
函数解析式为y=x-4．

点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求反比例函数解析式、求一次函数解析式以及三角函数的相关应用，综合性较强，要认真解答．