分析 (1)根据题意可得PA=t,CQ=3t,则PD=AD-PA=24-t,当PD=CQ时,四边形PQCD为平行四边形,可得方程24-t=3t,解此方程即可求得答案;
(2)首先过D作DE⊥BC于E,可求得EC的长,又由当PQ=CD时,四边形PQCD为等腰梯形,可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE,即3t-(24-t)=4时,四边形PQCD为等腰梯形,解此方程即可求得答案;
(3)根据正方形的性质得出AP=AB=BQ=8,再判断即可.
解答 解:(1)根据题意得:PA=t,CQ=3t,则PD=AD-PA=24-t,
∵AD∥BC,
∴PD∥CQ,
∴当PD=CQ时,四边形PQCD为平行四边形,
即24-t=3t,
解得:t=6,
即当t=6时,四边形PQCD为平行四边形;
(2)过D作DE⊥BC于E,
则四边形ABED为矩形,
∴BE=AD=24cm,
∴EC=BC-BE=2cm,
当PQ=CD时,四边形PQCD为等腰梯形,如图所示:
过点P作PF⊥BC于点F,过点D作DE⊥BC于点E,
则四边形PDEF是矩形,
∴EF=PD,PF=DE,
在Rt△PQF和Rt△CDE中,
$\left\{\begin{array}{l}{PF=DE}\\{PQ=DC}\end{array}\right.$,
∴Rt△PQF≌Rt△CDE(HL),
∴QF=CE,
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE,
即3t-(24-t)=4,
解得:t=7,
即当t=7时,四边形PQCD为等腰梯形;
(3)四边形ABQP在某一时刻不会是正方形,
理由是:当四边形ABQP是正方形时,AP=AB=BQ=8,
当AP=8时,t=8,此时BQ=26-3×8=2≠8,
所以四边形ABQP不能是正方形.
点评 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、正方形的性质和判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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