Question

14．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、F分别在边AD，BC上，且DE=BP=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由．
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）结论：△BEC是直角三角形，在RT△ABE和RT△ECD中分别求出BE、CE，再根据勾股定理的逆定理证明∠BEC=90°即可．
（2）结论四边形EFPH是矩形，先证明四边形EDPB、四边形AECP是平行四边形，得到BE∥DP，AP∥CE，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．

解答 解：（1）结论：△BEC是直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=5，∠BAC=∠ADC=90°，
∵DE=PB=1，
∴AE=4，
在RT△CDE中，∵∠EDC=90°，DE=1，CD=2，
∴EC=$\sqrt{E{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在RT△ABE中，∵∠BAE=90°，AE=4，AB=2，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BE²+EC²=（2$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{5}$）²=25，BC²=25，
∴BE²+EC²=BC²，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）结论：四边形EFPG是矩形．
理由：∵ED=PB，ED∥BP，
∴四边形EDPB是平行四边形，
∴BE∥PD，
∵AE=PC，AE=PC，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥EC，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠FEH=90°，
∴四边形EFPH是矩形．

点评 本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形、矩形的判定方法和性质是解题的关键，属于中考常考题型．