Question

11．如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（3，6）与点B，且与y轴交于点C，若点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的一个动点，作直线AP与x轴、y轴分别交于点M、N，连结BN、CM．若S_△ACM=S_△ABN，则$\frac{AP}{AN}$的值为2或4．

Answer 1

分析 先利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，求点B和C的坐标；
分两种情况：
①当点P在第一象限时，如图1，
②当点P在第三象限上时，如图2，
思路：都是根据S_△ACM=S_△ABN，列等式求OM的长，确定直线AM的解析式，由方程组的解求点P的坐标，根据勾股定理计算AP和AN的长，计算其比值即可．

解答 解：把A（3，6）代入到一次函数y=x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$中，
得：b=3，k=18，
∴y=$\frac{18}{x}$，y=x+3，
∴C（0，3），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{18}{x}}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-6}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴B（-6，-3），
分两种情况：
①当点P在第一象限时，如图1，
∵S_△ACM=S_△ABN，
S_△MNC-S_△ACN=S_△ACN+S_△BCN，
S_△MNC=2S_△ACN+S_△BCN，
$\frac{1}{2}$NC•OM=2×$\frac{1}{2}$NC×3+$\frac{1}{2}$NC×6，
OM=6+6=12，
∴M（12，0），
直线AM的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x+8，
∴N（0，8），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{18}{x}}\\{y=-\frac{2}{3}x+8}\end{array}\right.$，
$\frac{18}{x}=-\frac{2}{3}x+8$，
解得：x=3或9，
∴P（9，2），
∴AN=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AP=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴$\frac{AP}{AN}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$=2；
②当点P在第三象限上时，如图2，
∵S_△ACM=S_△ABN，
∴S_△ACN+S_△MNC=S_△ACN+S_△BCN，
S_△MNC=S_△BCN，
$\frac{1}{2}$NC•OM=$\frac{1}{2}$NC×6，
∴OM=6，
∴M（-6，0），
直线AM的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x+4，
∴N（0，4），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{18}{x}}\\{y=\frac{2}{3}x+4}\end{array}\right.$，
$\frac{18}{x}=\frac{2}{3}x+4$，
解得：x=3或-9，
∴P（-9，-2），
∴AN=$\sqrt{13}$，AP=$\sqrt{1{2}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
∴$\frac{AP}{AN}$=$\frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$=4，
综上所述，则$\frac{AP}{AN}$的值为2或4；
故答案为：2或4．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，还考查了函数图象上点的特征、三角形面积、动点问题、勾股定理及解析式的确定，有难度，并采用了分类讨论的思想，根据已知三角形面积相等列等式是关键．