已知y是关于x的函数.若其图象经过点P.则称点P为函数图象上的“偏离点．例如:直线y=x-3上存在“偏离点 P．(1)在双曲线y=$\frac{1}{x}$上是否存在“偏离点 ?若存在.请求出“偏离点的坐标,若不存在.请说明理由,(2)若抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+x-$\frac{2}{9}$a2-a+1上有“偏离点．且“偏离点为A(x1.y1)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．已知y是关于x的函数，若其图象经过点P（t，2t），则称点P为函数图象上的“偏离点”．例如：直线y=x-3上存在“偏离点”P（-3，-6）．
（1）在双曲线y=$\frac{1}{x}$上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+（$\frac{2}{3}$a+2）x-$\frac{2}{9}$a²-a+1上有“偏离点”．且“偏离点”为A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），求w=x₁²+x₂²-$\frac{ka}{3}$的最小值（用含k的式子表示）；
（3）若函数y=$\frac{1}{4}$x²+（m-t+2）x+n+t-2的图象上存在唯一的一个“偏离点”．且当-2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．

分析（1）根据“偏离点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“偏离点”；
（2）设抛物线“偏离点”的坐标为P（x，2x），代入抛物线的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有两个偏离点，则这两个偏离点的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，先由△的值确定a的取值，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，再将所求式子代入w=x₁²+x₂²-$\frac{ka}{3}$进行变形，得到w关于a的二次函数，求最小值即可；
（3）设函数“偏离点”的坐标为P（x，2x），代入函数的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有-个偏离点，则△=0，得到n=（m-t）²-t+2，把它看成一个二次函数，对称轴m=t，分三种情况讨论：①t＜-2，列方程，方程无解，没有符合条件的t值；②t＞3，列方程，解出t并取舍；③当-2≤t≤3，同理得t=1．

解答解：（1）设存在这样的“偏离点”P，坐标为（t，2t），
将点P的坐标代入双曲线y=$\frac{1}{x}$中得：2t=$\frac{1}{t}$，2t²=1，
解得：t=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故存在两个“偏离点”，坐标为P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）和P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$）；
（2）设抛物线“偏离点”的坐标为P（x，2x），
将点P的坐标代入抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+（$\frac{2}{3}$a+2）x-$\frac{2}{9}$a²-a+1中得：
2x=-$\frac{1}{2}$x²+（$\frac{2}{3}$a+2）x-$\frac{2}{9}$a²-a+1，
-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{2}{3}$ax-$\frac{2}{9}$a²-a+1=0，
∵“偏离点”为A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
∴x₁、x₂是方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{2}{3}$ax-$\frac{2}{9}$a²-a+1=0的两个根，
则x₁+x₂=-$\frac{\frac{2}{3}a}{-\frac{1}{2}}$=$\frac{4a}{3}$，x₁•x₂=$\frac{-\frac{2}{9}{a}^{2}-a+1}{-\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{9}{a}^{2}+2a-2$，
w=x₁²+x₂²-$\frac{ka}{3}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-$\frac{ka}{3}$=（$\frac{4a}{3}$）²-2（$\frac{4}{9}{a}^{2}+2a-2$）-$\frac{ka}{3}$，
w=$\frac{8}{9}{a}^{2}$-（4+$\frac{k}{3}$）a+4，
∵$\frac{8}{9}$＞0，
∴w有最小值，
则w_小=$\frac{4×\frac{8}{9}×4-（4+\frac{k}{3}）^{2}}{4×\frac{8}{9}}$=-$\frac{1}{32}{k}^{2}$-$\frac{3}{4}k$-$\frac{1}{2}$；
（3）设函数“偏离点”的坐标为P（x，2x），
将点P的坐标代入函数y=$\frac{1}{4}$x²+（m-t+2）x+n+t-2得：
2x=$\frac{1}{4}$x²+（m-t+2）x+n+t-2，
$\frac{1}{4}$x²+（m-t）x+n+t-2=0，
∵存在唯一的一个“偏离点”，
∴△=（m-t）²-4×$\frac{1}{4}$×（n+t-2）=0，
n=（m-t）²-t+2，
这是一个n关于m的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m=t，对称轴左侧，n随m的增大而减小；对称轴右侧，n随m的增大而增大；
①t＜-2，当-2≤m≤3时，在对称轴右侧递增，
∴当m=-2时，n有最小值为t，
即（-2-t）²-t+2=t，
t²+2t+6=0，
△=4-4×1×6＜0，方程无解，
②t＞3，当-2≤m≤3时，在对称轴左侧递减，
∴当m=3时，n有最小值为t，
即（3-t）²-t+2=t，
解得：t₁=4+$\sqrt{5}$，t₂=4-$\sqrt{5}$＜3（舍），
③当-2≤t≤3，当-2≤m≤3时，n有最小值为-t+2，
∴-t+2=t，
t=1，
综上所以述：t的值为4+$\sqrt{5}$或1．

点评本题是一个阅读理解问题，考查了对函数“偏离点”的掌握和运用，还考查了反比例函数和二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值，当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．

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（1）当P点在x轴正半轴上运动时，OP=2t-3，OQ=4t-3；（用含t的代数式表示）
（2）连结AP，AQ，是否存在t的值，使△PAQ是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）当P点在x轴正半轴上运动时，连结AP，点C是线段AP上的一点，且AC=$\frac{1}{4}$AP，连结OC，将△OAC沿OC所在的直线折叠得到△OCD，当△OCD与△OCP重叠部分的面积是△OCP面积的$\frac{1}{3}$时，t的取值范围是t≥$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．（直接写出答案即可）

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（2）以下说法正确的有①②③④．
①点E、D、H三点共线；②EH∥FG；③若AP⊥BD，则四边形EFGH是矩形；④若四边形EFGH是菱形，则BD=2AP；⑤四边形EFGH不可能是正方形．
（3）如图2，以点E、F、G、H为顶点的四边形恰好为菱形，且AB=8，AD=6，求PQ的长．（直接写出答案，不必说明理由）