Question

（2013•宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=-

1

2

（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待定系数法求解即可；
（2）首先求得点B的坐标，然后分CM=BM时和BC=BM时两种情况根据等腰三角形的性质求得点M的坐标即可．

解答：解：（1）设抛物线的解析式y=a(x+

1

2

)2+k
把A（2，0）、C（0，3）代入得：

25 4 a+k=0 1 4 a+k=3

解得：

a=- 1 2 k= 25 8

∴y=-

1

2

(x+

1

2

)2+

25

8

即y=-

1

2

x2-

1

2

x+3

（2）由y=0得  -

1

2

(x+

1

2

)2+

25

8

=0
∴x₁=2，x₂=-3
∴B（-3，0）
①CM=BM时
∵BO=CO=3  即△BOC是等腰直角三角形
∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形
∴M点坐标（0，0）
②BC=BM时
在Rt△BOC中，BO=CO=3，
由勾股定理得BC=

OC2+OB2

∴BC=3

2

，
∴BM=3

2

∴M点坐标（3

2

-3，0)

点评：本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．