Question

【题目】如图，矩形ABCD中，P是边AD上的一点，连接BP，CP过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交AD边于点M，且使∠ABE＝∠CBP，AB＝2，BC＝5．

（1）证明：△ABM∽△APB；

（2）当AP＝3时，求sin∠EBP的值；

（3）如果△EBC是以BC为底边的等腰三角形，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）sin∠EBP＝；（3）AP的值为4或．

【解析】

（1）根据矩形的性质与相似三角形的判定即可求解；

（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP＝x＝4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正弦值；

（3）可分EB＝EC和CB＝CE两种情况讨论：①当EB＝EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM＝DP，从而有xy＝5x，即y＝2x5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB＝CE时，可得到PC＝ECEP＝BCMP＝5y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠DCB＝∠D＝90°，AB＝DC，

∴∠APB＝∠CBP，

∵∠ABM＝∠CBP，

∴∠ABM＝∠APB，

∵∠A＝∠A．

∴△ABM∽△APB；

（2）解：过点M作MH⊥BP于H，如图所示：

∵△ABM∽△APB，

∴＝，即＝，

解得：AM＝，

∴MP＝AP﹣AM＝，

∴BM＝＝＝，BP＝＝＝，

∵S△BMP＝MPAB＝BPMH，

<>∴MH＝＝＝

∴sin∠EBP＝＝＝．

（3）解：设AP＝x，PM＝y．

由（1）得：△ABM∽△APB，

∴＝，即＝，

解得：y＝x﹣

①若EB＝EC，则有∠EBC＝∠ECB，

∴∠ABM＝∠DCP，

在△AMB和△DPC中，，

∴△AMB≌△DPC（ASA），

∴AM＝DP，

∴x﹣y＝5﹣x，

∴y＝2x﹣5，

∴x﹣＝2x﹣5，

解得：x＝1，或x＝4，

∵2＜x≤5，

∴AP＝x＝4；

②若CE＝CB，则∠EBC＝∠E，

∵AD∥BC，

∴∠EMP＝∠EBC＝∠E，

∴PE＝PM＝y，

∴PC＝EC﹣EP＝5﹣y，

∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2＝22，

∴3x2﹣10x﹣4＝0，

解得：x＝，或x＝（舍去），

∴AP＝x＝，

终上所述：AP的值为4或．