Question

20．在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D分别作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）如图①，当点D在边BC上时，求证：DE+DF=AC；
（2）如图②，当点D在边BC的延长线上时；如图③，当点D在边BC的反向延长线上时．请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的数量关系，不需要证明．

Answer 1

分析 （1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）①结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，AC=DE-DF；②结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，AC=DF-DE．证明方法类似（1）．

解答 解：（1）如图①中，

∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，∠FDC=∠B，
又∵∠AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠FDC=∠C，
∴DF=FC，
∴DE+DF=AF+FC=AC；
（2）①结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，AC=DE-DF；

理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，∠FDC=∠B，
又∵∠AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠FCD，
∴∠FDC=∠FCD，
∴DF=FC，
∴AC=AF-CF=DE-DF．

②结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，AC=DF-DE．

理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，∠FDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，
∴∠ABC=∠C
∴∠FDC=∠C，
∴DF=FC，
∴AC=CF-AF=DF-DE．

点评 本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．