Question

9．如图，一次函数y₁=ax+1与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（2，m）和B（-4，-1），与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求a，k的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，已知P为反比例函数图象上位于第一象限内的一点，若直线DP平分△ADE的面积，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B点坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式可求得a和k的值；
（2）由条件可知直线PD过线段AE的中点，可求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线DE的解析式，再联立反比例函数和直线DE的解析式可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵一次函数y₁=ax+1过B（-4，-1），
∴-4a+1=-1，解得a=$\frac{1}{2}$，
∵反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象过B（-4，-1），
∴k=-4×（-1）=4；
（2）由（1）可知反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，一次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∵反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象过A（2，m），
∴2m=4，解得m=2，
∴A（2，2），
∴AE=2，
∴线段AE的中点坐标为（2，1）
在y=$\frac{1}{2}$x+1中令y=0可得x=-2，
∴D（-2，0），
∵线DP平分△ADE的面积，
∴直线DP过点（2，1），
设直线DP解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线DP解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$，
联立直线DP和反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{17}}\\{y=\frac{\sqrt{17}+1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{17}}\\{y=\frac{1-\sqrt{17}}{4}}\end{array}\right.$
∵P点在第一象限，
∴P点坐标为（-1+$\sqrt{17}$，$\frac{\sqrt{17}+1}{4}$）．

点评 本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键，注意求函数图象交点坐标的方法．