如图,已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B,线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.
(1)求△AOB的面积;
(2)求点C坐标;
(3)点P是x轴上的一个动点,设P(x,0)
①请用x的代数式表示PB2、PC2;
②是否存在这样的点P,使得|PC-PB|的值最大?如果不存在,请说明理由;
如果存在,请求出点P的坐标.
(1)6;(2)(7,4);(3)①,;②存在这样的P点,P(3,0).
【解析】
试题分析:(1)先由直线求出A、B两点的横坐标,即OA、OB的长,从而可求出△AOB的面积;
(2)过C点作CD⊥x轴,垂足为D,构造Rt△ADC.易证△OAB≌△DCA,从而可求出CD=4,OD=7,所以C点坐标为(7,4);
(3)①由(2)可知,PD=7-x,在Rt△OPB中,,Rt△PCD中,
②存在这样的P点.P(3,0).
试题解析:(1)由直线,令y=0,得OA=x=4,令x=0,得OB=y=3,∴S△AOB=×4×3=6;
(2)过C点作CD⊥x轴,垂足为D,
∵∠BAO+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠BAO=∠ACD,
又∵AB=AC,∠AOB=∠CDA=90°,
∴△OAB≌△DCA,
∴CD=OA=4,AD=OB=3,则OD=4+3=7,
∴C(7,4);
(3)①由(2)可知,PD=7-x,
在Rt△OPB中,PB2=OP2+OB2=x2+9,
Rt△PCD中,PC2=PD2+CD2=(7-x)2+16=x2-14x+65,
②存在这样的P点.
设B点关于 x轴对称的点为B′,则B′(0,-3),
连接CB′,设直线B′C解析式为y=kx+b,将B′、C两点坐标代入,得
解得
所以,直线B′C解析式为y=x-3,
令y=0,得P(3,0),此时|PC-PB|的值最大,
考点:一次函数综合题.
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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(湖北咸宁卷)数学(解析版) 题型:解答题
如图,已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD.
(1)点C的坐标是 ,线段AD的长等于 ;
(2)点M在CD上,且CM=OM,抛物线y=x2+bx+c经过点G,M,求抛物线的解析式;
(3)如果点E在y轴上,且位于点C的下方,点F在直线AC上,那么在(2)中的抛物线上是否存在点P,使得以C,E,F,P为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出该菱形的周长l;若不存在,请说明理由.
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