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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
    （1）求该抛物线所对应的函数关系式；
    （2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
    ①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
    ②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．
    分析：（1）利用一次函数与坐标轴坐标求法，得出B、C两点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式．
    （2）利用二次函数最值求法不难求出，再利用三角形面积之间的关系，可求出等腰△BPC的面积
    解答：精英家教网解：（1）由于直线y=-x+3经过B、C两点，
    令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
    ∴B（3，0），C（0，3），
    ∵点B、C在抛物线y=-x2+bx+c上，于是得
    -9+3b+c=0
    c=3
    ，
    解得b=2，c=3，
    ∴所求函数关系式为y=-x2+2x+3；

    （2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x2+2x+3上，
    且PN⊥x轴，
    ∴设点P的坐标为（x，-x2+2x+3），
    同理可设点N的坐标为（x，-x+3），
    又点P在第一象限，
    ∴PN=PM-NM，
    =（-x2+2x+3）-（-x+3），
    =-x2+3x，
    =-(x-
    3
    2
    )2+
    9
    4
    ，
    ∴当x=
    3
    2
    时，
    线段PN的长度的最大值为
    9
    4
    ．
    ②解：
    由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，精英家教网
    又由①知，OB=OC，
    ∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
    ∴设点P的坐标为（a，a），
    又点P在抛物线y=-x2+2x+3上，于是有a=-a2+2a+3，
    ∴a2-a-3=0，
    解得a1=
    1+
    		13
    2
    ，a2=
    1-
    		13
    2
    ，（10分）
    ∴点P的坐标为：(
    1+
    		13
    2
    ，
    1+
    		13
    2
    )    或(
    1-
    		13
    2
    ，
    1-
    		13
    2
    )    ，
    若点P的坐标为(
    1+
    		13
    2
    ，
    1+
    		13
    2
    )    ，此时点P在第一象限，
    在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=
    1+
    		13
    2
    ，
    OB=OC=3，
    S△BPC=S四边形BOCP-S△BOC=2S△BOP-S△BOC=2×
    1
    2
    •BO•PM-
    1
    2
    BO•CO    ，
    =2×
    1
    2
    ×3×
    1+
    		13
    2
    -
    9
    2
    ，
    =
    3
    		13
    -6
    2
    ，
    若点P的坐标为(
    1-
    		13
    2
    ，
    1-
    		13
    2
    )    ，此时点P在第三象限，
    则S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=
    1
    2
    ×3×|
    1-
    		13
    2
    |×2+
    1
    2
    ×3×3    ，
    =
    1
    2
    ×3×
    		13
    -1
    2
    ×2+
    9
    2
    =
    3
    		13
    -3+9
    2
    =
    3
    		13
    +6
    2
    ，
    点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，综合性较强．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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