Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：①∠EAG＝45°；②若DE＝a，则AG∥CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；④若CF＝FG，则；⑤BGDE+AFGE＝a2．其中正确的是____________．（写出所有正确判断的序号）

Answer 1

【答案】①②④⑤．

【解析】

①由折叠得AD=AF=AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误；

②设BG=GF=x，由勾股定理可得求得BG=，进而得GC=GF，得∠GFC=∠GCF，再证明∠AGB=∠GCF，便可判断正误；

③设BG=GF=y，则CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误；

④证明∠FEC=∠FCE，得EF=CF=GF，进而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；

⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得再得△CEG的面积为BGDE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．

解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=AD=a，

∵将△ADE沿AE对折至△AFE，

∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，

在Rt△ABG和Rt△AFG中 ，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴∠BAG=∠FAG，

∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=×90°=45°，故①正确；

② Rt△ABG≌Rt△AFG

∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，

设BG=GF=x，

∵DE=a，

∴EF=a， ∴CG=a-x，

在Rt△EGC中，EG=x+a，CE=a，

由勾股定理可得：

解得：

此时BG=GF=a，CG=a，

∴GC=GF， ∴∠GFC=∠GCF，

∵∠BGF=∠GFC+∠GCF，

∴2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，

∴∠AGB=∠GCF，

∴AG∥CF，/span> ∴②正确；

③若E为CD的中点，则DE=CE=EF=a，

设BG=GF=y，则CG=a-y，

由， 即

解得：y= a，

∴BG=GF=a，CG=

∴

∴S△CFG＝S△CEG＝ 故③错误；

④当CF=FG，则∠FGC=∠FCG，

∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°，

∴∠FEC=∠FCE， ∴EF=CF=GF，

∴BG=GF=EF=DE，

∴EG=2DE，CG=CE=a-DE，

∴ CE＝EG，即(aDE)＝2DE， ∴DE=， 故④正确；

⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，

由勾股定理得：

整理得：

∴S△CEG＝(ab)(ac)＝()=(bc+bc)＝bc，

即S△CEG=BGDE，

∵S△ABG=S△AFG，S△AEF=S△ADE，

∴S五边形ABGED＝2S△AGE＝2×AFEG＝AFEG，

∵S五边形BGED+S△CEG=S正方形ABCD，

∴BGDE+AFEG=故⑤正确．

故答案为：①②④⑤．