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15.如图,AB是⊙O的直径,AC、BD是⊙O的切线,切点分别为A、B,EF分别交AC、BD于点E、F,且EO平分∠AEF.
(1)EF与⊙O相切吗?为什么?
(2)设AE=4,BF=9,求⊙O的半径.

分析 (1)过点O作OH⊥EF于H,如图,根据切线的性质得AB⊥AC,然后根据角平分线的性质得OH=OA,然后根据切线的判定方法可判断EF为⊙O的切线;
(2)过E点作EG⊥BD于G,如图,根据切线的性质得AB⊥BD,则四边形ABGE为矩形,所以EG=AB,BG=AE=4,再根据切线长定理得到EH=EA=4,FH=FB=9,则GF=BF-BG=5,EF=EH+FH=13,
然后在Rt△EGF中利用勾股定理计算出EG即可得到⊙O的半径.

解答 解:(1)EF与⊙O相切.理由如下:
过点O作OH⊥EF于H,如图,
∵AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,
∴AB⊥AC,
∵EO平分∠AEF,
而OH⊥EF,
∴OH=OA,
∴EF为⊙O的切线;
(2)过E点作EG⊥BD于G,如图,
∵AB是⊙O的直径,BD是⊙O的切线,
∴AB⊥BD,
∴四边形ABGE为矩形,
∴EG=AB,BG=AE=4,
∵EF为⊙O的切线,
∴EH=EA=4,FH=FB=9,
∴GF=BF-BG=5,EF=EH+FH=13,
在Rt△EGF中,EG=$\sqrt{E{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12,
∴AB=12,
∴⊙O的半径为6.

点评 本题考查了切线的判定与性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”; 有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.

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