如图.正方形ABCD中.点F是BC边上一点.连结AF.以AF为对角线作正方形AEFG.边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H.连结DG．(1)填空:若∠BAF=18°.则∠DAG=27°,(2)若当点F在线段BC上运动时.设FC=x.DG=y.试求y与x之间的函数关系式,(3)若$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$.请求出$\frac{FC}{FH}$的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．

如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）填空：若∠BAF=18°，则∠DAG=27°；
（2）若当点F在线段BC上运动时（不与B、C两点重合），设FC=x，DG=y，试求y与x之间的函数关系式；
（3）若$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，请求出$\frac{FC}{FH}$的值．

分析（1）由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC=∠GAF=45°，于是得到∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠GAC=45°，推出∠HAG=∠BAF=18°，由于∠DAG+∠GAH=∠DAC=45°，于是得到结论；
（2）由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AG}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}$，由于∠DAG=∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果；
（3）设BF=k，CF=2k，则AB=BC=3k，根据勾股定理得到AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（3k）^{2}+{k}^{2}}$=$\sqrt{10}$k，AC=$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$k，由于∠AFH=∠ACF，∠FAH=∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论．

解答解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC=∠GAF=45°，
∴∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠GAC=45°，
∴∠HAG=∠BAF=18°，
∵∠DAG+∠GAH=∠DAC=45°，
∴∠DAG=45°-18°=27°，
故答案为：27．

（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AG}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}$，
∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC=45°，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△ADG∽△CAF，
∴$\frac{DG}{CF}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴y=$\frac{\sqrt{2}x}{2}$；

（3）∵$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
设BF=k，CF=2k，则AB=BC=3k，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（3k）^{2}+{k}^{2}}$=$\sqrt{10}$k，AC=$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH=∠ACF，∠FAH=∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{FH}{CF}$，
即：$\frac{\sqrt{10}k}{3\sqrt{2}k}=\frac{FH}{2K}$，
∴FH=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$k，
∴$\frac{CF}{FH}$=$\frac{2k}{\frac{2\sqrt{5}k}{3}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：选择题

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A．

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B．

（-1，5）

C．

（3，1）

D．

（3，-5）

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