Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．

(1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°．

(2)拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

(3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．

Answer 1

【答案】(1)，45；(2)和β的大小无变化；(3)△BCE的面积为4或12．

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．

(2)结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题．

(3)分两种情形：①当点D在线段AB上时，②当点D在线段BA的延长线上时，分别求解即可．

解：(1)如图1中，

∵∠B＝90°，BA＝BC，

∴∠A＝45°，AC＝AB，

∵点D、E分别是边AB、AC的中点，

∴BD＝AB，EC＝AC，

∴＝，β＝45°，

故答案为，45．

(2)结论：和β的大小无变化．

理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．

∵AE＝AD，AC＝AB，

∴＝，

∴，

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAB＝∠EAC，

∴△DAB∽△EAC，

∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，

∵∠BOK＝∠COA，

∠BKO＝∠CAO＝45°，

∴和β的大小无变化．

(3)当点D在线段AB上时，S△BCE＝×4×2＝4，

当点D在线段BA的延长线上时，S△BCE＝×4×6＝12．

综上所述，△BCE的面积为4或12．